圆方程计算器
计算圆的标准式方程 (x-h)²+(y-k)²=r² 和一般式方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0。本计算器在中心-半径形式和一般形式之间转换。
最后更新: 2025-10-21 — 由Calvin编译和审核（数学研究，FreeCalculators.app）
圆方程计算器
工作原理
标准式：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中 (h, k) 是圆心，r 是半径。
一般式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中 D = -2h，E = -2k，F = h² + k² - r²。
要从标准式转换为一般式，展开并简化方程。
要从一般式转换为标准式，对 x 和 y 项完成平方。
可以从一般式找到圆心：h = -D/2，k = -E/2，r = √(h² + k² - F)。
分步示例
示例 1：标准式
求圆心为 (3, -2)、半径为 5 的圆的方程。
- 已知：圆心 (h, k) = (3, -2)，半径 r = 5
- 标准式：(x - h)² + (y - k)² = r²
- 代入：(x - 3)² + (y - (-2))² = 5²
- 简化：(x - 3)² + (y + 2)² = 25
示例 2：转换为一般式
将 (x - 3)² + (y + 2)² = 25 转换为一般式。
- 展开：(x - 3)² + (y + 2)² = 25
- x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 25
- 合并：x² + y² - 6x + 4y + 13 = 25
- 一般式：x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0
- 其中 D = -6，E = 4，F = -12
常见错误
- 在标准式方程中忘记对半径进行平方。
- 在形式之间转换时出现符号错误（特别是负的圆心坐标）。
- 从一般式转换为标准式时未正确完成平方。
- 混淆圆心坐标——记住 (h, k) 表示 x = h，y = k。
使用场景
- 数学：解决涉及圆的坐标几何问题。
- 工程：在坐标系中描述圆形路径和边界。
- 计算机图形学：在二维空间中定义圆形形状和区域。
- 物理：分析圆周运动和轨迹。
- 建筑：在基于坐标的设计中指定圆形特征。
常见问题
关于圆方程的常见问题。